ケーリー変換の証明

ケーリー変換とは、エルミート行列 $H\in M(n;\Bbb C)$ を用いて $U:=(I+iH)(I-iH)^{-1}$ と定義することで、ユニタリー行列 $U$ を導く変換である。

これを証明する前に、知識として必要なエルミート共役・エルミート行列の性質について示す。

$A,B\in M(m,n;\Bbb C), c\in \Bbb C$ に対して、

$(cA)^{\dagger}=c^*A^{\dagger}$
$(A+B)^{\dagger}=A^{\dagger}+B^{\dagger}$
$Aが正則\Leftrightarrow A^{\dagger}が正則$
3.のとき、 $(A^{-1})^{\dagger}=(A^{\dagger})^{-1}$

が成り立つ。また以上の性質より、エルミート行列 $H\in M(n;\Bbb C)$ について $$(iH)^{\dagger}=i^*H^{\dagger}=-iH \tag{1}$$

が導ける。

以下、ケーリー変換の証明。

$$(I+iH)(I-iH)=(I-iH)(I+iH) \tag{2}$$

より、左右から $(I+iH)^{-1}$ をかけて、

$$(I+iH)^{-1}(I+iH)(I-iH)(I+iH)^{-1}=(I+iH)^{-1}(I-iH)(I+iH)(I+iH)^{-1} \tag{3}$$
]$$(I-iH)(I+iH)^{-1}=(I+iH)^{-1}(I-iH)(I+iH)(I+iH)^{-1} \tag{4}$$

また、

$$U^{\dagger}U=\lbrace (I+iH)(I-iH)^{-1}\rbrace ^{\dagger}(I+iH)(I-iH)^{-1} \tag{5}$$
$$=\lbrace (I-iH)^{-1}\rbrace ^{\dagger}(I+iH)^{\dagger}(I+iH)(I-iH)^{-1} \tag{6}$$
$$=\lbrace (I-iH)^{\dagger}\rbrace ^{-1}(I+iH)^{\dagger}(I+iH)(I-iH)^{-1} \tag{7}$$
$$=\lbrace (I^{\dagger}-(iH)^{\dagger})\rbrace ^{-1}(I^{\dagger}+(iH)^{\dagger})(I+iH)(I-iH)^{-1} \tag{8}$$

式 (1) より、

$$U^{\dagger}U=(I+iH)^{-1}(I-iH)(I+iH)(I-iH)^{-1} \tag{9}$$

式 (4) より、

$$U^{\dagger}U=(I+iH)^{-1}(I-iH)(I-iH)^{-1}(I+iH)=I \tag{10}$$

よって $U^{\dagger}U=I$ すなわち $U^{\dagger}=U^{-1}$ より、 $U$ はユニタリー行列である。

【参考文献】

中原幹夫「量子物理学のための線形代数＝ベクトルから量子情報へ」(2016)培風館.
- p.23 問 2.3 参照。記号の用法は全てこの本に従った。
随伴行列 - Wikipedia (2018年9月2日07:30閲覧)
- https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%8C%E5%88%97