部分積分の公式と、それを１から導出する方法

部分積分の公式を紹介し、それを証明します。

筆者は長らく部分積分の公式を暗記するのに苦労していました（どのタイミングで被積分関数を微分・積分したらいいのか覚えられませんでした）が、導出できるようにすることで、この便利な公式を簡単に使えるようになりました。

公式

部分積分は以下のような計算です。

$$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$$

ただし、 \(f(x)=F'(x)\) つまり \(\int f(x)dx=F(x)+C\) が成り立つものとします（ \(C\) は積分定数です）。 \(g(x),G(x)\) についても同様です。

証明

合成関数 \(F(x)g(x)\) について

$$\{F(x)g(x)\}’=F'(x)g(x)+F(x)g'(x)=f(x)g(x)+F(x)g'(x)$$

が成り立ちます。両辺を積分すると

$$\int\{F(x)g(x)\}’dx=\int f(x)g(x)dx+\int F(x)g'(x)dx$$

$$F(x)g(x)=\int f(x)g(x)dx+\int F(x)g'(x)dx$$

$$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$$

として、部分積分の公式が導出できます。