概要
部分積分の公式が永遠に覚えられないので、合成関数の微分公式から導出してしまおうという話です。
公式
部分積分
$$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$$
ただし、 \(f(x)=F'(x)\) つまり \(\int f(x)dx=F(x)+C\) が成り立つ。（ \(C\) は積分定数）
証明
合成関数 \(F(x)g(x)\) について
$$\{F(x)g(x)\}'=F'(x)g(x)+F(x)g'(x)=f(x)g(x)+F(x)g'(x)$$
が成り立つ。両辺を積分して
$$\int\{F(x)g(x)\}'dx=\int f(x)g(x)dx+\int F(x)g'(x)dx$$
$$F(x)g(x)=\int f(x)g(x)dx+\int F(x)g'(x)dx$$
$$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$$
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