部分積分の導出

概要

部分積分の公式が永遠に覚えられないので、合成関数の微分公式から導出してしまおうという話です。

公式

部分積分

$$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$$

ただし、 \(f(x)=F'(x)\) つまり \(\int f(x)dx=F(x)+C\) が成り立つ。（ \(C\) は積分定数）

証明

合成関数 \(F(x)g(x)\) について

$$\{F(x)g(x)\}'=F'(x)g(x)+F(x)g'(x)=f(x)g(x)+F(x)g'(x)$$

が成り立つ。両辺を積分して

$$\int\{F(x)g(x)\}'dx=\int f(x)g(x)dx+\int F(x)g'(x)dx$$

$$F(x)g(x)=\int f(x)g(x)dx+\int F(x)g'(x)dx$$

$$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$$