一般の和事象の確率―その証明と極限

確率・統計
Sponsored

2つの事象のどちらか一方、または両方が起こることを和事象といいます。

この記事では、ベン図を用いて和事象の確率を計算する方法について解説し、それぞれの事象の確率の和との関係について、一般の場合と極限を考えます

記号の定義

この記事では、和事象積事象を次の記号であらわします。

  • \(A\cup B\) :和事象( \(A\) または \(B\) )
  • \(A\cap B\) :積事象( \(A\) かつ \(B\) )

和事象の確率(事象が2つのとき)

定理

事象 \(A, B\) が生じる確率を、それぞれ \(P(A), P(B)\) とおくと、和事象の確率について

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\tag{1}$$

が成り立ちます。

証明

和事象のベン図(2事象)

事象 \(A, B\) の関係は上の図のようになります( \(U\) は全事象)。

確率を面積として捉えると、 \(A\cup B\) に相当する面積を求めるためには、 \(A, B\) の面積を足した後、 \(A\cap B\) の面積を引けばよいことがわかります。

和事象の確率(事象が3つのとき)

事象 \(A, B, C\) が生じる確率を、それぞれ \(P(A), P(B), P(C)\) とおくと、

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)$$

$$-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C)\tag{2}$$

が成り立ちます。

図を使った証明

和事象のベン図(3事象)

2事象のときと同様に、まず、それぞれの確率 \(P(A), P(B), P(C)\) を足します。

その後、2事象で重複している面積 \(P(A\cap B),P(B\cap C),P(C\cap A)\) を引きます。

すると今度は、3事象で重複した面積 \(P(A\cap B\cap C)\) を引きすぎていることになるので、これを足して終了です。

式を使った証明

$$D=B\cup C$$

とします。

式 \((1)\) より

$$P(A\cup D)=P(A)+P(D)-P(A\cap D)\tag{3}$$

$$P(D)=P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)\tag{4}$$

がそれぞれ成り立ちます。

また

$$P(A\cap D)=P(A\cap (B\cup C))=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C)\tag{5}$$

(それぞれの関係をベン図で確認してください)

より、式 \((4),(5)\) を式 \((3)\) に代入して

$$P(A\cup D)=P(A)+P(B)+P(C)-P(B\cap C)$$

$$-\{P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C)\}$$

つまり

$$P(A\cup(B\cup C))=P(A)+P(B)+P(C)$$

$$-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C)$$

となります。

最後に

$$P(A\cup(B\cup C))=P(A\cup B\cup C)$$

より、式 \((2)\) が導かれます。

このように、式 \((1), (5)\) を繰り返し使うことによって、任意の個数について和事象の確率を計算できます。

和事象に関する不等式

事象が2つのとき

式 \((1)\) より

$$P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)\tag{6}$$

が成り立ちます。

等号成立は \(A, B\) が排反(同時に起こり得ない)のときです。

なぜならば、 \(A\cap B=\emptyset\) より面積の重なりがなくなるため、 \(P(A\cap B)=0\) であるからです。

事象が3つのとき

不等式 \((6)\) を繰り返し使うことによって

$$P(A\cup B\cup C)=P((A\cup B)\cup C)$$

$$\leq P(A\cup B) + P(C)$$

$$\leq P(A) + P(B) + P(C)$$

が成り立ちます。

一般の場合

\(N\) 個の事象の列 \(\{A_1, A_2, \cdots, A_N\}\) の和事象を

$$\bigcup_{k=1}^{N}A_{k}$$

と書くことにします。

この場合もやはり、不等式 \((6)\) を繰り返し使うことによって

$$P\left(\bigcup_{k=1}^{N}A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{N}P(A_{k})\tag{7}$$

が導かれます。

これを厳密に定理として表現すると、以下のようになります。

\(\mathfrak{B}\) を可測集合族とする。

事象の列 \(A_{k}\in\mathfrak{B}, k=1,2,\ldots,N\) に対して

$$P\left(\bigcup_{k=1}^{N}A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{N}P(A_{k})$$

が成り立つ。

$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}P(A_{k})$$

不等式の極限

不等式 \((7)\) において、 \(N\to\infty\) の極限をとることを考えます。

このとき、以下の定理が成り立ちます。

\(\mathfrak{B}\) を可測集合族とする。

事象の列 \(A_{k}\in\mathfrak{B}, k=1,2,\ldots,\) に対して

$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}P(A_{k})$$

が成り立つ。

証明

\(B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\) とおくと、 \(B_{n}\) は単調増大列となります。

単調増大列とその性質については、以下の記事でくわしく解説しています。

単調増大列・単調減少列の定義と性質【確率の連続性を導くために】
事象の列を構成する要素が互いに包含関係にあるとき、その方向によって単調増大列または単調減少列と呼ばれます。この記事では、単調増大列と単調減少列の定義と性質を解説し、これらが収束することに基づいて確率の連続性という性質を証明します。確率の連続性は、無限回の試行についての確率を考えるための重要な関係式を導きます。

↑の記事の、確率の連続性に関する定理を用いると

$$P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}P(B_{n})=\lim_{n\to\infty}P\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right)\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})=\sum_{k=1}^{\infty}P(A_{k})$$

が導かれます。

ここで、

$$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$$

が成り立つことから、これを代入して

$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}P(A_{k})$$

となります。

Comments