ロジスティック方程式は生物の個体数の変化を表す方程式で、ロジスティック関数（ロジスティックシグモイド関数）はオッズを確率に変換する関数です。この記事では、名前の似たこれら２つの式の関係を考察します。
結論としては、ロジスティック方程式が持つ仮定から、生物の個体数を確率として解釈できることが、ロジスティック関数との類似性を生んでいると考えられます。
動機
ロジスティックシグモイド関数
$$p=\frac{1}{1+e^{-a}}\tag{1}$$
は、 \(p\) を確率値として見た時の対数オッズ（ロジット関数）
$$a=\ln{\frac{p}{1-p}}\tag{2}$$
の逆関数として導出されます。すなわち、対数オッズの値から確率を計算する関数です。このような性質から、ロジスティック回帰分析などの機械学習の分野でよく利用されています。
しかし、この関数について、生物個体数の時間変化を表したロジスティック方程式
$$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)\tag{3}$$
の解
$$N=\frac{N_{0}Ke^{rt}}{K-N_{0}+N_{0}e^{rt}}\tag{4}$$
において \(K=1\), \(N_{0}=0.5\), \(r=1\) と置くことによっても、同じ形
$$N=\frac{1}{1+e^{-t}}\tag{5}$$
が得られます。（ロジスティック方程式と解の導出、後に登場するマルサス係数 \(m\) については以下の記事を参照してください。
一方は確率と対数オッズの関係からの式変形であり、もう一方は生物モデルの結論という、一見関係なさそうなものが同じ結果を導いているのは不思議です。（そして、名前が似ているのも不思議です）
この記事では、上記のように確率的観点（ロジット関数）と生物学的観点（ロジスティック方程式）の双方から、同じ形の関数が得られる理由について考察します。
考察
結論
結論を先に示すと、ロジスティック方程式に関する次の要因が、ロジスティックシグモイド関数への合流を導いていると考えられます。
- \(K=1\), \(N_{0}=0.5\), \(r=1\) という代入が持つ、確率的意味
- マルサス係数 \(m\) が線形に減少するという仮定
以下、ロジスティック方程式とロジット関数の双方から議論を進め、結果的に同じ内容を導いていることを示します。
ロジスティック方程式から
ロジスティック方程式の変数の意味を考えながら、結論 1. のルールに沿って値を順次代入していきます。
まず、環境収容力 \(K\) は個体数 \(N\) の最大値です。 \(K=1\) と置くと、 \(N\) が非負であることと合わせて \(0\leq N\leq 1\) が導かれ、この時点で \(N\) が確率 \(p\) と同様の定義域を持つことがわかります。
次に、個体数の初期値 \(N_{0}\) は \(t=0\) の時の \(N\) の値であることに注目します。式 \((1), (5)\) を比較するとわかるとおり、 \(p\leftrightarrow N\), \(a\leftrightarrow t\) の対応関係があり、 \(N_{0}=0.5\) という値は \(N\) を確率、 \(t\) を対数オッズと見た時に
$$t=\ln{\frac{N}{1-N}}=\ln{\frac{0.5}{1-0.5}}=0$$
が矛盾なく成立するように設定されています。
以上の通り、 \(K,N_{0}\) に対する値の代入は、 \(p\leftarrow N\), \(a\leftarrow t\) の変換が矛盾なく行われるよう、意図されたものであると考えることができます。
ロジット関数から
ここで一度ロジスティック方程式を離れ、確率的観点から話を進めます。対数オッズ \(a\) と確率 \(p\) の増加量の関係について考えるために、まず
$$b=\ln{p}$$
という、確率の対数 \(b\) と確率 \(p\) の関係について見ていきます。この式から
$$p=\exp(b)$$
であり、これを \(b\) で微分すると
$$\frac{dp}{db}=\exp(b)=p$$
が得られます。すなわち、 \(b\) が増加した時の \(p\) の増分は、 \(p\) 自身の値に等しい（比例する）ことになります。マルサス係数的に \(m\) という記号を用いて比例を表現すると
$$\frac{dp}{db}=mp\quad(m=1)\tag{6}$$
と書けます。これを踏まえてロジット関数 \((2)\) について考えます。
\(a\) が増加した時の \(p\) の増分について考えた時、式 \((6)\) のように \(m=1\) となるでしょうか？答えはNOです。なぜならば、 \(a\) が増加した時のことを考えると
$$a\uparrow=\ln{\frac{p\uparrow}{(1-p)\downarrow}}$$
のように、分子・分母の増減は連動しているため、 \(a\) の増加は \(p\) の増加と \(1-p\) の減少の双方に起因している（逆に言えば、 \(a\) の増加による影響は、 \(p\) と \(1-p\) で「分割」される）ことがわかります。そのため、 \(p\) の増え方は式 \((6)\) の時よりも小さく、 \(m< 1\) となるはずです。
では、実際にはどのくらい小さくなるのでしょうか？それを確かめるために、ロジット関数 \((2)\) を微分します。
$$\frac{da}{dp}=\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}=\frac{1}{p(1-p)}$$
より
$$\frac{dp}{da}=\frac{1}{\frac{da}{dp}}=p(1-p)$$
であり、式 \((6)\) と比較すると \(m=1-p\) 、すなわち、 \(m\) は \(p\) の値に対して「線形に減少させればよい」ことがわかります。この結果は、結論 2. の操作と一致します。
また、内的自然増加率 \(r\) は \(m\) の最大値であり、 \(r=1\) であることが自然に導かれます。
したがって、確率的観点（ロジット関数）と生物学的観点（ロジスティック方程式）は、結論 1. 2. の操作を通して相互に結びついていることが示されました。
まとめ
確率的観点（ロジット関数）においては、対数オッズ \(a\) の増加に対して \(p\) が増えすぎないような線形の制約が内在しています。一方、生物学的観点（ロジスティック方程式）においては、変数を確率として矛盾なく読み替えられるよう値を代入することができます。
以上の結果が、ロジスティックシグモイド関数という共通の結果を導いたと考えられます。
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